“逻辑后承”是逻辑学最为核心的概念, 这个词的意思与“演绎”“推导”“蕴涵”等近似, 大意是指从一些句子到另一些句子的保持有效性的关系。现代逻辑的研究对象就是句子之间的逻辑后承关系, 从前提到结论的逻辑后承关系的直观解释是:如果前提为真, 那么结论不可能为假。
在所有关于逻辑后承的研究中, 逻辑后承主要分为语义逻辑后承和演绎逻辑后承。语义逻辑后承的定义为:句子A是句子类X的逻辑后承当且仅当X的每个模型都是A的模型。演绎逻辑后承的定义为:句子A是句子类X的逻辑后承当且仅当A可以由X推导出。这两种逻辑后承概念都可以追述到波兰逻辑学家塔尔斯基 (A.Tarski) 的工作。塔尔斯基在1936年《论逻辑后承概念》一文中提出了语义逻辑后承的精确定义。1该定义是基于塔尔斯基在另一篇论文《形式化语言中真这个概念》中所提出的形式化语言的“真”概念的定义。 (2) 在此之前, 塔尔斯基1930年的两篇波兰语文章采用纯句法的方式, 抽象地对逻辑后承概念进行了研究。 (3) 经过甘岑 (G.Gentzen) 对塔尔斯基的句法逻辑后承的研究和发展, 形成了演绎逻辑后承关系的逻辑演算。本文尝试从逻辑的角度对演绎逻辑后承关系的概念进行分析。
一 经典演绎逻辑后承
塔尔斯基在研究演绎逻辑后承时, 将逻辑后承视为一个函数Cn, 这个函数Cn是将任何句子集合映射到该集合的所有逻辑后承的集合。句子集合X的逻辑后承一般记为Cn (X) 。塔尔斯基认为, 函数Cn必须满足一些一般性的条件。塔尔斯基给出的Cn需要满足的公理, 许多学者在后续研究中将它们总结为以下三条性质:
(C1) 自返性:任意句子集合X中的句子A都是X的逻辑后承。
(C2) 传递性:如果句子A是句子集合X和句子B的逻辑后承, 并且句子B是句子集合Y的逻辑后承, 那么句子A是X和Y的逻辑后承。
(C3) 后承单调性:如果句子A是句子集X的逻辑后承并且X是Y的子集, 那么A是Y的逻辑后承。
塔尔斯基的Cn函数所要满足的三个条件, 乃是对演绎的基本性质的抽象总结。当我们说句子A可以从句子集合X推导出来时, 其直观含义是, 在某个形式系统中, 使用句子集合X中的句子作为前提, 使用该形式系统的公理或规则, 可以在有穷步之内推导出句子A。塔尔斯基的逻辑后承运算Cn所满足的三个条件符合“演绎”的直观含义。如果通过演绎关系来定义逻辑后承关系, 即句子A属于Cn (X) 当且仅当句子A从句子集合X可推导, 那么就可以证明Cn满足塔尔斯基的三个条件。
对于自返性条件 (C1) 来说, 假如句子A属于句子集合X, 那么使用句子A作为前提, 不需要采用任何公理或规则, 就能直接推导出句子A。因此, 句子A是句子集合X的逻辑后承。同理, 对于传递性条件 (C2) 来说, 假定句子A可从句子集合X和句子B推导出来, 并且句子B又能从句子集合Y推导出来, 那么从句子集合X和句子集合Y的并集, 必然可以推导出句子A。因此, 句子A是句子并集X和Y的逻辑后承。后承单调性条件 (C3) 也符合“演绎”的直观概念, 因为如果从句子集X能够推导出句子A, 那么从包含X的更大句子集Y, 必然能推导出句子A。
塔尔斯基的演绎后承是一个句子集合和一个句子的关系。斯科特 (D.Scott) 拓展了塔尔斯基的逻辑后承关系, 将其定义为一个句子集合与另一个句子集合之间的关系。 (1) 斯科特的逻辑后承概念的定义为:句子集合Y是句子集合X的逻辑后承当且仅当至少存在Y中的一个句子A使得A可从句子集合X推导出来。塔尔斯基所定义的逻辑后承关系被称为经典逻辑后承关系。斯科特的逻辑后承运算需要满足的条件与塔尔斯基的逻辑后承运算相同, 并且塔尔斯基逻辑后承可以看作斯科特逻辑后承的一种特殊情况。因此, 这种逻辑后承被统称为塔尔斯基-斯科特逻辑后承。
另一位对演绎逻辑后承研究具有深远影响的逻辑学家是甘岑。在《逻辑演绎研究》一文中, 甘岑提出了“矢列 (sequent) ”概念, 用以指称一个句子序列与一个句子之间的逻辑后承关系。因此, 它本质上就是演绎后承关系。 (2) 与塔尔斯基使用句子集合不同, 甘岑使用了“句子序列”这个更一般的概念。满足以下三个性质的一个句子序列就可以被看作一个句子集合:
(1) 交换性:任何两个相邻的句子A, B可以交换位置得到B, A。
(2) 结合性:任何三个连续出现的句子A, (B, C) 等同于 (A, B) , C。
(3) 收缩性:任何句子两次出现A, A, 等同于一次出现A。
除了引入“矢列”概念来研究逻辑后承关系, 甘岑还引入了句子序列的结构性质。一个句子序列可以满足不同的结构性质, 如上面所说的交换性、结合性和收缩性。一个矢列是由前件句子序列、逻辑后承关系符号和后件句子组成的, 一般记为X├A, 这里的X是一个句子序列。考虑以下条件:
(矢列单调性) 如果X├A, 那么B, X├A并且X, B├A。
当矢列中的句子序列是句子集合并且后承关系满足矢列单调性条件时, 甘岑所定义的逻辑后承关系满足塔尔斯基的逻辑后承运算的三个条件。与塔尔斯基-斯科特逻辑后承类似, 甘岑的矢列也可扩展为句子序列之间的逻辑后承关系, 记为X├Y, 其直观解释是, 句子序列Y是句子序列X的逻辑后承当且仅当至少存在Y中的一个句子A可以从X推导出来。
二 非经典演绎逻辑后承
在甘岑引入矢列来研究句法逻辑后承概念之后, 许多逻辑学家对矢列和甘岑式矢列演算进行了深入研究。随着非经典逻辑的发展, 许多学者对塔尔斯基的演绎逻辑后承定义提出了质疑, 最主要的质疑集中在两点:第一, 逻辑后承是否必须满足塔尔斯基提出的三个条件;第二, 逻辑后承关系是否必须在句子集合上来定义。莫绍揆和丘奇 (A.Church) 对塔尔斯基逻辑后承运算的后承单调性提出了质疑, 他们认为在逻辑演绎中, 前提与结论之间的关系必须是紧密相连的, 任何一个前提对于推导出结论都必须起作用, 不能有任何多余的前提。 (1) 因此, 作为逻辑后承前件的句子序列不能满足矢列单调性条件。在这种思想的影响下, 安德森 (A.Anderson) 和贝尔纳普 (N.Belnap) 重新审视了逻辑后承概念, 提出了相干逻辑及相干逻辑后承概念。 (2) 实际上, 在相干逻辑思想出现之前, 另一种重要的非经典逻辑, 即直觉主义逻辑, 就否定了塔尔斯基-斯科特逻辑后承概念。在甘岑的直觉主义逻辑矢列演算中, 矢列的后件句子序列不具备序列单调性, 后件只能有一个句子。
除了后承单调性之外, 其他性质也受到一些学者的质疑。吉拉德 (J.Girard) 认为, 除了单调性以外, 收缩性也不应该作为逻辑后承的基本性质。 (3) 举例来说, 从“我有5块钱”可以推导出“我能买1个笔记本”, 因此有“我有5块钱├我能买1个笔记本”。同样, 假设5块钱也能买1只笔, 那么“我有5块钱├我能买1支笔”。因此“我有5块钱;我有5块钱├我能买1个笔记本;我能买1支笔”。如果收缩性成立, 那么“我有5块钱├我能买1个笔记本;我能买1支笔”, 这显然是违反直觉的。吉拉德认为, 在逻辑后承的概念中, 在序列中应该明确前提句子序列中的句子在推导中使用的次数。根据这一思想, 吉拉德在其1987年的论文《线性逻辑》中提出了不满足单调性和收缩性的线性逻辑和线性逻辑后承关系。 (3) 在线性逻辑的矢列演算中, 句子序列和矢列满足的结构性质只有交换性和结合性。
另一种著名的非经典逻辑是兰贝克演算 (Lambek Calculus) 。兰贝克演算的逻辑后承概念更彻底地否定了塔尔斯基逻辑后承概念和甘岑序列演算中句子序列和矢列的结构性质。在兰贝克演算中, 矢列前件的句子序列只满足结合性, 矢列后件只能是单一的句子。兰贝克演算的逻辑后承概念否定了矢列单调性、句子序列的收缩性和交换性等结构性质。兰贝克演算是纯粹的符号语言, 它的基本思想最初来自波兰逻辑学家爱裘凯维茨 (K.Ajdukiewicz) 。爱裘凯维茨认为, 逻辑后承应该体现在句子的组成结构上, 而不应该体现在句子的含义或指派对象上。 (4) 在兰贝克演算中, 最经典的后承关系是A, A→B├B, 它的直观解释是, 如果句子A和句子符A→B按先后顺序出现, 那么在句子序列A, A→B之后得到句子B。在这里, 逻辑推理只与句子的外在表现形式有关, 与句子的含义、指派等均无关系。兰贝克演算是由兰贝克在论文《数学句子的结构》一文提出的。 (5) 由于兰贝克演算这种结构运算的特征, 它在语言逻辑的研究中得到了广泛的应用。
随着研究的进一步深入, 子结构逻辑及其逻辑后承概念受到了广泛关注。一般来说, 子结构逻辑的后承关系, 是指通过去除矢列中句子序列的一些结构性质而得到的非经典逻辑的逻辑后承关系。前面谈到的非经典逻辑后承关系, 均属于子结构逻辑的后承关系。子结构逻辑为各种非经典逻辑的逻辑后承关系研究, 提供了一种统一的研究方法。子结构逻辑及其后承关系最早由日本逻辑学家小野宽唽 (Hiroakira Ono) 引入, 并得到许多学者的重视和研究。关于子结构逻辑及其逻辑后承关系的深入介绍, 可以参考雷斯塔尔 (G.Restall) 的著作《子结构逻辑引论》 (1) 和冯棉的论文《子结构逻辑的研究方法与应用前景》 (2) 。
另一些学者通过改变逻辑演绎的强度得到更一般的逻辑后承关系。这种思想起源于波兰逻辑学家卢卡西维奇 (J.Lukasiewicz) 的多值逻辑后承概念和捷克逻辑学家海耶克 (P.Hájek) 的模糊逻辑后承概念。在论文《分级后承回顾》中, 米尔·查克波特 (M.Chakraborty) 将这种逻辑后承称为“分级逻辑后承” (3) 。分级逻辑后承关系借鉴了模糊逻辑中真值度的思想, 用来描述一种模糊化的逻辑后承关系。句子A是句子序列X的分级逻辑后承, 其直观含义是, 句子序列X在某种程度上可以推导出句子A。这种逻辑后承概念主要用来讨论一些边际模糊的逻辑演绎行为。比如, 从“一个人是35岁”很难精确地推断“这个人是年轻人”还是“这个人是长者”;只能说, 如果一个人是35岁, 那么在某种程度上他是一个年轻人。米尔·查克波特还将分级逻辑后承推广到模糊逻辑的各种层级的元逻辑上去。需要注意的是, 塔尔斯基的演绎逻辑后承关系是分级逻辑后承的一种极端情况。
三 塔尔斯基演绎逻辑后承与非经典演绎逻辑后承的关系
塔尔斯基在《论逻辑后承概念》一文中写道:“任何尝试定义精确的普遍适用的逻辑后承概念的企图终将失败, 我们必须接受, 每个不同的逻辑后承概念的定义, 都会或多或少刻画其直观含义。” (4) 塔尔斯基认为逻辑后承概念是有限制的, 他所定义的逻辑后承概念是基于这个概念在数学推理中的直观含义。前面讨论的各种非经典逻辑的逻辑后承概念, 与塔尔斯基定义的逻辑后承概念并无实质性的矛盾和冲突。以下我们借鉴米尔·查克波特的分级逻辑后承概念 (同时还会使用甘岑的矢列演算) , 来分析塔尔斯基的逻辑后承概念与各种非经典逻辑后承概念之间的关系。
令L是某一个非经典逻辑。以甘岑序列的方式, L的逻辑后承可以表达为X├A, 其中X为句子序列而A是一个句子。L的甘岑序列演算由公理和规则组成:一个公理指形如A├A的矢列;一个规则是矢列之间的推导关系。例如, X1├A1, …, Xn├An⇒Y├B可以是L中的一个规则, 其直观含义是, 如果序列X1├A1, …, Xn├An在L系统中成立, 那么序列Y├B也是成立的。一个关于矢列X├A的推演是指从公理出发使用L中的规则推导出矢列X├A的过程。实际上, 在L的矢列演算中, 进行推演的行为也遵照一定的逻辑规则。按照米尔·查克波特的分级思想, 可以把这种行为所遵循的逻辑称为L的元语言逻辑。
元语言逻辑的后承关系是定义在矢列集合上的, 并且该逻辑后承关系必然是塔尔斯基的逻辑后承关系。这是因为, 在元语言逻辑的后承关系中, 后承关系的前件是有效的矢列集合, 后件是单一的矢列, 而且推导关系是在L系统中进行演绎推理的行为。在L系统中进行演绎推理时, 已知的有效矢列可以不受限制地使用, 因此该逻辑后承满足收缩性条件。同时, 完成一个演绎推理可以只使用某一部分已知矢列, 而不需要强制要求必须使用每一个已知矢列, 这说明该逻辑后承满足矢列单调性条件。很明显, 该逻辑后承关系也满足交换性、结合性等条件。通过这些性质, 可以证明该元逻辑的逻辑后承关系满足塔尔斯基逻辑后承的三个条件。因此, 该逻辑后承关系也是塔尔斯基式的逻辑后承关系。关于逻辑后承的后承关系的概念, 近年来也受到越来越多的关注。特别是在子结构逻辑研究中, 如布兹考夫斯基 (W.Buszkowski) 在《带假设集的兰贝克演算》一文中, 讨论了关于兰贝克演算的逻辑后承关系的后承关系在语言逻辑分析中的应用前景 (1) 。布洛克 (W.Blok) 和范阿尔滕 (C.van Alten) 、格拉图 (N.Galatos) 也先后对一系列子结构逻辑后承的后承关系的性质进行了分析 (2) , 明确了子结构逻辑中逻辑后承的后承关系的特点。
四 语义逻辑后承与演绎逻辑后承的关系
语义逻辑后承和演绎逻辑后承既有联系又有区别。在演绎逻辑后承中, 要么逻辑后承前件的句子序列是有穷的, 要么逻辑后承的后件句子能从前件句子序列的有穷子序列推导出来。这种性质通常被称为“紧致性”。语义逻辑后承和演绎逻辑后承的最大区别就在于, 语义逻辑后承一般不预设紧致性, 而演绎逻辑后承则恰恰相反, 要预设紧致性。与演绎逻辑后承相比, 语义逻辑后承更能把握一些无穷的情况。例如, 令无穷集S是句子集合{1<2, 2<3, ……}, 而句子A表达“任何一个自然数n都小于其后继n+1”。从直观上说, 如果S中的每个句子都为真, 那么句子A也必为真。因此A是S的语义逻辑后承。但是, 我们不能说A是S的演绎逻辑后承, 要推导出A就必须在演绎推理过程中包含S的每一个句子, 而S是无穷的, 演绎推理的步数是有穷的, 因此这个推演过程是无法实现的。
虽然一般情况下演绎逻辑后承无法处理无穷的情况, 但是大多数演绎逻辑后承具有构造性。这是语义逻辑后承所不具备的。演绎逻辑后承的研究一般使用证明论工具。在演绎推理过程中, 我们可以清晰地看到逻辑后承的前件如何一步步推导出逻辑后承的后件, 并且这一过程通常都是可构造的。相反, 语义逻辑后承的研究一般使用模型论工具, 通过一些方法能够证明逻辑后承前件和后件存在着保持真的关系。但是, 我们往往并不知道这种关系是如何建立的, 通常的证明过程都是非构造性的。夏皮罗 (S.Shapiro) 认为, 逻辑是由语言、语义逻辑后承和句法逻辑后承组成的, 并且这两种逻辑后承刚好保持一致 (3) 。但是, 语义逻辑后承等价于演绎 (句法) 逻辑后承是有条件的。在讨论有穷情况时, 假如对象逻辑满足演绎定理和弱完全性, 那么语义逻辑后承等价于演绎逻辑后承。在更一般的情况下, 只有对象逻辑满足强完全性, 其语义逻辑后承和演绎逻辑后承才会重合。
五 非经典逻辑的塔尔斯基演绎逻辑后承
非经典逻辑的元逻辑的演绎后承是一种塔尔斯基演绎后承关系, 我们将之称为“非经典逻辑的塔尔斯基演绎后承”。这种后承关系是严格意义上的塔尔斯基逻辑后承关系。但是, 它不是广义的塔尔斯基演绎逻辑后承概念, 例如塔尔斯基-斯科特演绎后承。假如我们考虑直觉主义逻辑, 然后把它的元逻辑的演绎后承定义为塔尔斯基-斯科特演绎后承, 那么将产生悖论。因为直觉主义逻辑是构造性演绎推理的逻辑, 而塔尔斯基-斯科特演绎后承却含有非构造性的假设, 使用带有非构造性假设的方法研究构造性演绎推理, 本身就是一种矛盾。
非经典逻辑的塔尔斯基演绎后承在非经典逻辑研究中具有重要意义。笔者认为, 这主要体现在非经典逻辑的塔尔斯基演绎后承是演绎逻辑后承和语义逻辑后承的统一。由于在许多非经典逻辑中强完全性和演绎定理不成立, 所以它们的演绎后承与语义逻辑后承并不等价。但是, 这两种不同的逻辑后承概念均是这些逻辑理论的塔尔斯基演绎后承的特殊情况。令L是非经典逻辑, 那么L的塔尔斯基演绎后承关系可以表达为Γ├α, 其中Γ是L的演绎后承 (矢列) 集合, α是L的一个演绎逻辑后承。那么当Γ为空集时, L的塔尔斯基演绎后承等价于该逻辑的演绎后承。当Γ中矢列的前件句子序列均为空序列时, L的塔尔斯基演绎后承等价于L的语义逻辑后承。
塔尔斯基演绎逻辑后承与语义逻辑后承是两个不同的概念, 但是两者之间存在密切联系。在目前非经典逻辑研究中, 对一部分逻辑理论, 比如模态逻辑, 人们更加关注其语义逻辑后承的性质;而在另一些非经典逻辑中, 比如子结构逻辑, 人们则偏重研究它们的演绎逻辑后承的性质。然而, 目前尚缺乏对两种后承概念的完整统一的研究。探索非经典逻辑的塔尔斯基演绎后承的性质, 能够涵盖对演绎逻辑后承和语义逻辑后承的统一研究, 恰恰能解决这个问题。
目前, 子结构逻辑的塔尔斯基演绎后承关系引起了广泛的关注, 成为一个重要的研究对象。例如, 布兹考夫斯基研究了非结合性的兰贝克演算的塔尔斯基演绎后承 (1) , 卡明斯基 (M.Kaminski) 和弗兰茨 (N.Francez) 研究了布尔式兰贝克演算的塔尔斯基演绎后承 (2) , 格拉图和卡多诺 (R.Cardona) 研究了一类子结构逻辑的塔尔斯基演绎后承。 (3) 笔者曾提出, 模态兰贝克演算的塔尔斯基演绎后承是一个值得研究的重要问题。 (4) 对更多非经典逻辑的塔尔斯基演绎后承关系及其所蕴涵的句法演绎后承和语义后承之间相互关系的深入研究, 是摆在逻辑学家面前的一个重要问题。
【注释】
1 A.Tarski, “On the Concept of Logical Consequence” (in Polish) , Przegld Filozoficzny, 39, 1936, pp.58-68.
2 参见马明辉:《塔尔斯基论逻辑后承概念》, 《世界哲学》2014年第1期, 第120-123页。
3 A.Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford University Press, 1956, p.31.
4 D.Scott, “On Engendering an Illusion of Understanding”, Journal of Philosophy, 68 (21) , 1971, pp.787-807.
5 G.Gentzen, “Untersuchungenüber das Logische Schlieen.I&II”, Mathematische Zeitschrift, 39 (1) , 1935, pp.176-210 or pp.405-431.
6 S.-K.Moh, “The Deduction Theorems and Two New Logical Systems”, Methodos 2, 1950, pp.56-75;A.Church, “The Weak Positive Implication Calculus”, Journal of Symbolic Logic, 16, 1951, p.238.
7 A.R.Anderson and N.D.Belnap, Entailment, Princeton University Press, 1975.
8 J.-Y.Girard, “Linear Logic”, Theoretical Computer Science, 50, 1987, pp.1-101.
9 K.Ajdukiewicz, “Das Weltbild und die Begriffsapparatur”, Erkenntnis IV, 1934, pp.259-287.
10 J.Lambek, “The Mathematics of Sentence Structure”, American Mathematical Monthly, 65 (3) , 1958, pp.154-170.
11 G.Restall, An Introduction to Structural Logics, Routledge, 2000, pp.1-150.
12 冯棉:《子结构逻辑的研究方法与应用前景》, 《哲学动态》2007年第6期, 第68-72页。
13 M.Chakraborty and S.Dutta, “Graded Consequence Revisited”, Fuzzy Sets and Systems, 161 (14) , 2010, pp.1885-1905.
14 A.Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, p.409.
15 W.Buszkowski, “Lambek Calculus with Nonlogical Axioms”, Language and Grammar:Studies in Mathematical Linguistics and Natural Language, C.Casadio, P.J.Scott, R, Seely (eds.) , CSLI Publications, 2005, pp.77-93.
16 W.Blok, and C.van Alten, “On the Finite Embeddability Property for Residuated Ordered Groupoids”, Transactions of AMS, 357 (10) , 2005, pp.4141-4157;N.Galatos and R.Cardona, “The Finite Embeddability Property for Non-commutative Knotted Extensions of RL”, Internat.J.of Algebra and Computation, 25 (3) , 2015, pp.349-379.
17 S.Shapiro, Foundations without Foundationalism:A Case For Second-order Logic, Clarendon Press, 1991, p.125.
18 W.Buszkowski, “Interpolation and FEP for Logics of Residuated Algebras”, Logic Journal of the IGPL 19 (3) , 2011, pp.437-454.
19 M.Kaminski and N.Francez, “Relational Semantics of the Lambek Calculus Extended with Classical Propositional Logic”, Studia logica, 102 (3) , 2014, pp.479-497.
20 N.Galatos and R.Cardona, “The Finite Embeddability Property for Non-commutative Knotted Extensions of RL”, Internat.J.of Algebra and Computation 25 (3) , 2015, pp.349-379.
21 Z.Lin, “Non-associative Lambek Calculus with Modalities:Interpolation, Complexity and FEP”, Logic Journal of the IGPL, 22 (3) , 2014, pp.494-512.
（原载《哲学动态》2018年第5期）