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【孙雯】投票理论阐释的新视角---从逻辑的角度看

公正理性的社会选择往往很困难,我们分析在何种条件下,个体偏好能以一种满意的方式被汇总成社会偏好,或者更直接地,被汇总成社会决策。如何透明而合理的做出决策?在现实生活中,进行社会选择最常用的方法就是投票,在协商民主理论与实践日益广泛传播与深化的大背景下,投票是一种体现民主制度的方法,也是一种很重要的进行社会决策的方法。

投票理论的研究范围涵盖了社会选择理论、人工智能、政治学和经济学等领域,是一个跨文化、多学科交叉的研究领域。与此同时,现代逻辑在社会选择中已经做出了很多贡献,是目前国际上的研究热点,世界许多知名的大学都有专门的研究机构,例如荷兰的阿姆基特丹大学,专门成立了逻辑、语言与计算研究所;美国的斯坦福大学,成立了语言与信息研究中心;纽约城市大学成立了知识、博弈和信念团体等。可见,现代逻辑的蓬勃发展,为投票的研究提供了更多的理论支持,使许多问题有了新的解决方案。

一、    引言

投票理论最早可追溯到孔多塞(Condorcet1743-1794)对投票悖论的研究。1785年,法国经济学家孔多塞在《有关简单多数票法所做决策的概率应用分析》一文中,第一次阐述了在两两相决的投票中存在悖论。该领域的典型问题是偏好聚合,主体们有很多给定的备选方案,如何能将个体偏好转化为群体偏好呢?这不是一个简单的问题,考虑下面的例子:假设有五个主体,面对ABC三个备选方案,每个主体的偏好被模型为一个线性序,如下:

Agent 1: A > B > C

Agent 2: B > C > A

Agent 3: C > A > B

Agent 4: C > A > B

Agent 5: B > C > A

一般使用多数投票规则(majority voting rule),即少数服从多数的原则,依据这条规则,我们得到大多数的主体偏好(主体134)是A > B,同样大多数主体偏好(主体125)是B > C 根据逻辑一致性原则,偏好是可传递的,也就是说,大多数主体的偏好是A> C。但是,事实上多数主体的偏好是(主体2345)是C > A因此,出现矛盾,这被称作孔多塞悖论(Condorcet’s paradox ,(Endriss2011:88-91)它就好像是一只小狗,在没完没了地追着自己的尾巴,永远的循环下去。可见,多数投票规则并不一定具有偏好传递性。那么,除了多数投票规则,是否有一个更好的聚合规则,不会出现悖论的这种情况。

基于不同的观点和立场,学者们提出了不同的解决方案。例如,当不可能定理中的某些假定条件被限制或者放宽时,结果可能会是肯定的。1958年,邓肯布莱克(D.Black)在他的《委员会和选举理论》一书中明确提出了单峰(Single-Peaked偏好。(Black1958:156单峰偏好,是指在一系列备选方案中,有一个最理想的方案,如偏离这个最理想方案,其效用都是递减的。布莱克指出,只要投票者的偏好是单峰型的,多数投票规则一定可以产生出唯一的均衡点。也就是说,可能会产生一种均衡的投票结果。但是,在现实生活中,单峰偏好这一条件太局限了,投票者的偏好一般都具有多维选择。

此外,1998年,经济学家阿马蒂亚森(Amartya Sen)也做了大量工作,在多数票决策的可能性定理一文中提出了价值限制(Value Restriction)定理,指出当投票者的人数为奇数时,如果所有投票者的选择是价值限制性质的,也即投票者都同意其中一项备选方案并非是最佳的,那么在这种情况下,孔多塞悖论是可以避免的。(Sen1966:491-498应该指出的是,价值限制偏好虽然可以避免孔多塞悖论,但是它局限了投票者的人数必须为奇数,很显然,这过于苛刻了。

社会选择理论中提出了一个所谓的公理化方法,也即将聚合规则形式化,规范为数字上的严格的公理。从科学的角度看,它经常被列入经济理论之中,但它也是社会科学和哲学的重要部分。但是,结果表明:我们无论采用什么方法来汇总个体偏好而产生的社会选择,总会存在一些个体偏好,让社会选择不具有传递性,就像孔多塞投票悖论一样,也即根本不存在一种尊重个人偏好、并且不依赖于程序的投票方案。

毫无疑问,对投票的论证和分析真正造成影响的,则是著名的三大不可能定理,即阿罗不可能定理(Arrow1951:587-601、吉伯德-萨特思韦特不可能定理(Gibbard1973:587-601Satterthwaite1975:187-217和森的不可能定理(Sen1970152-157它们分别证明了,在假定的条件下,不可能出现使社会福利最大化的投票安排,不可能防止策略投票,不可能使个人主权与集体权利相一致。毋庸置疑,世界上任何事情都不是完美无缺的,投票也是如此。之后,学者们围绕这三大不可能定理进行了大量的研究,努力使不可能成为可能

由上可见,投票理论中旧问题的解决往往伴随着新问题的产生,以上方法虽然在一定程度上克服了悖论和不可能定理,但是还是有很多问题有待解决。因此,需要从多方位、多角度的深入研究,这需要借助逻辑工具进行理论突破。

、投票理论的基本形式体系

下面,我们形式化的给出投票理论中经常用到的概念和公理。

1. 投票理论中的概念

给定投票人集 和候选人集  ,两者都为有限集合。在经济学术语中,一般使用代理人和事件,而在投票理论中,我们使用投票人集和候选人集

为候选人集 上所有的线性序之集,线性序就是满足传递性与完备性的双向运算,可以理解为某投票者对候选人的一个偏好组合,集合 就是意向表的集合。 解释为关于投票人集的偏好关系,我们说某个人 的偏好关系时,就记做

社会福利函数(social welfare functionSWF)定义为 ,也即个体的偏好组合到集体偏好的映射;另外,社会选择函数(social choice functionSCF)定义为 。可见,两者分别为候选人集合的最终排序与最终选择。

2投票理论中的公理

匿名性(anonymity): 表示投票者不应该影响结果,只有选票才会影响结果,这就要求平等的对待投票者。形式化表示为: , 为任意的选票组合。

帕累托原则 (Pareto principle):也称为一致同意规则(the consensus principle,表示如果所有投票者都将 排在前面,或者说候选人 比候选者 优秀,那么 无法成为最终的获胜者。 , 成立,则社会福利函数

无关备选项的独立性(independence of irrelevant alternatives, IIA):也称为不相关选择的独立性,从某种意义上来看,候选人Y最初未能胜出,所以他是无关的,将他从候选人中移除不应改变投票的结果。若 ,则社会福利函数W具有无关备选项的独立性

非强加性(Non-imposed):表示对于每个候选人,都存在一种选票的组合,使其为唯一的获胜者,或者说任意的候选人都有可能获胜。即 ,其中

独裁者(Dictator):如果投票者在任何选票组合下选择的候选项总是获胜,这名投票者就是一名独裁者。这意味着,某个人的偏好代表整个社会的偏好。设 是由社会福利函数 选择的偏好排序,若 ,则社会福利函数 具有独裁性,其中 即称为独裁者。

三、    基于多主体策略逻辑(MASL)的投票理论

多主体策略逻辑是对个体或群体策略能力进行推理的一种模态逻辑。我们借助多主体策略逻辑语言来探讨投票问题,进而提供了一个从模态逻辑角度探讨投票的有效途径,也为社会选择理论的研究提供了理论支持。

1 MASL的语言和语义

N给定一个主体集,Si策略集多主体策略逻辑的策略术语Strategy term定义如下

其中,i Na {Si}是主体i的所有策略的集合。

??:表示相对于对手的个体策略,它是一个随机术语,要根据对手的行动而制定其策略。

!!:指主体的当前策略。表示主体保持当前的策略不变。

多主体策略逻辑的策略向量(strategy vectors)定义如下:

是博弈结果值的集合,o:S®P是结果函数。

多主体策略逻辑(MASL)基本语言由下面的规则定义:(van Eijck2013:208-214

f::=| c | p |Øf | f1Ùf2| [g]f

g::=c | ?f | g1; g2| g1È g2| g*

其中,pÎ c是策略向量。[g]f表示从当下状态对g的每一种终端处理导致了一个状态,在该状态中,保留了信息f。在此基础上的[g]就可以定义为:(合成)g1; g2表示先处理g1,再处理g2;(选择)g1È g2表示或者处理g1,或者处理g2;(重复)g*表示对g处理了有限次数,也可以是零次;(测试)?f表示测试公式f是否成立,如果它成立,就继续,如果不成立,就失效。

命题的联结词还可以定义,f1Úf2f1®f2f1«f2<r>f。另外,我们定义[(??,…,??,a,??,..,??)]表示投票者i的选择是a,同时其它投票者的选择不确定。[(!!,…,!!,a,!!,..,!!)]表示投票者i选择a,同时其它投票者坚持他们以前的选择。。

在投票中,第一个投票者的策略是b,第二个投票者坚持他的投票,第三个投票者可能改变,也可能不改变它的策略,可以表示为:(b,!!,??),在策略意向表s=(a,b,c)中,有[(b,!!,??)]A,s = {b} {b} {a,b,c}

    MASL的语义)给定一个模型M={NSo},其中oS P

M, s |=   

M, s |= c     当且仅当 s [c]S,s

M, s |= p     当且仅当 s o-1(p)

M, s |=Øf    当且仅当 Ms f

M, s |= f1Ùf2 当且仅当 M, s |= f1 并且 M, s |=f2

M, s |= [g]f   当且仅当 对于所有的t(s, t)Î[g]MM,t|=f

[c]M = {(s,t)|t [c S,s}

[?f]M = {(s,s)|M,s|=f}

[ ]M = [ ]M [ ]M

[ ]M = [ ]M [ ]M

[ ]M =([ ]M)*

这里 是关系构成,* 是自返传递闭包。

2 MASL的表达力

令(ia, )是策略向量(!!,…,!!,a,!!,…,!!)的缩写,表示a在第i个位置上,其它位置都是!!。令[(i, )]f [(ia, )] f的缩写,那么[(i, )]f表示为投票者i通过当前策略意向表,使得f成立。同时,假设其它投票者的策略选择都保持不变。

令(ia, )是策略向量(??,…,??,a,??,…,??)的缩写,表示a在第i个位置上,其它位置都是??。令[(ia, )]f缩写为 [(ia, )] f,那么[(i, )]f表示不管其它投票者的策略是什么,投票者i的策略集使得f为真。

令( )是(??,…,??)的缩写, <( )>f表示在某些状态中,使得f为真。

基于多主体策略逻辑,我们来刻画投票理论中的一些相关性质:

纳什均(Nash Equilibrium)

下面的公式表示了当前策略意向表是一个纳什均衡:

ui³vÙ[(i, )]Øui>v

下面的公式表达了博弈是纳什的。

<( )> ui³vÙ[(i, )]Øui>v

多数投票规则(Plurality Voting)

A是候选人的集合。令 是所有完全策略向量的集合,其中a和其它的备项或候选人相比,可以得到更多的投票。那么得到:

[c]x

单值性(Resoluteness)

如果一个投票规则是单值的,那么就总是存在一个获胜者,可以表达为如下的公式:

[( )]

 

 

非强加(Non-Imposedness):

如果至少三个结果是可能的,那么一个投票规则是(弱)非强加的,把投票看成一个博弈,我们可以描述为如下公式:

 <( )>a <( )>b <( )>c

独裁(Dictatorship):

在多主体博弈中,一个独裁者是一个总能得到他想要的主体。他所得到的效益至少和其它主体所能得到的一样多。使用缩写(i, ,可以表示为如下公式:

[(??)]( v)

此外,多主体策略逻辑的模型检测是PTIME-完全的。(Lange2006:39-49)多主体策略逻辑的可满足性检测是EXPTIME-完全的。

3. 防操纵(或称防策略,Strategy-Proofness)

如何能准确地获取每个个体的偏好呢?我们可以直接要求每个个体给出他对社会状态的排序,但这又会遇到一个问题。如果错误地给出个体偏好而能受益,个人就会瞒天过海,而不是实话实说。于是,要想使个体不谎报偏好,社会选择函数必须就具备防操纵的独特性。如果社会选择函数是防操纵的,则无论个体偏好是什么,都没有人能从谎报偏好中严格受益。反之,如果社会选择函数不是防操纵的,则至少存在一种(或多种)可以使得某个人能从谎报偏好中严格受益的情况。

防操纵投票的意义影响深远,这是由吉伯德(1973)和萨特思韦特(1975)提出来的,并以吉伯德-萨特思韦特不可能定理达到了顶峰。具体来讲,如果存在三个可供选择的备选项,那么在个体偏好在非约束的定义域下,一个社会选择函数要么是独裁的,要么就是容易被操纵的。这说明唯一存在的是被个体控制的独裁机制。按照这个脉络,在一个足够丰富的背景中,设计一个非独裁的投票程序是实属妄想。

然而,幸运的是,这并不意味着一切都是徒劳,下面我们将投票视为一个多主体的策略博弈,用多主体策略逻辑语言严格给出防操纵公式,如下:

对于任意意向表S和任意主体(或投票者)i,如果改变他们的投票不能带来比现在还好的结果(根据Si的偏好),那么一个投票规则是防操纵的。可以表示为如下公式:

[( )] ( >v)

四、基于认知多主体策略逻辑(EMASL)的投票理论

EMASLMASL的扩展。在投票理论中,许多性质有认知版本,可以用MASL逻辑表示的性质也可以用EMASL表示。

1 EMASL的语法和语义

EMASL的语言可以由下列方式给出:

φ::= | c | p |Øφ | φ1Ùφ2 | [g

::=c | ?φ | g1; g2| g1Èg2| g* 

::=i | iÚ | ?φ | a1;a2 | a1Èa2 | a*

其中,iÎNiÚ表示i的关系的反。我们定义i(iÈiÚ)* ,那么i是一个自返的、对称的和传递的知识算子。

扩展的博弈形式是一个多元组:(NWR1Rn)。其中,W是序对(Gs)的集合,其中,G=NS)是一个博弈形式,s S,每个RiW上的二元关系。

EMASL的语义)给定一个模型M,令w W。我们递归定义一个公式在Mw上是真的, 公式的真值解释如下:

M, w|=       当且仅当   w=((N,S),s) 并且s

M, w|=    当且仅当   对于所有 ,

 

对于所有的iÎN,我们令W={G,s| sÎS}并且Ri={((G,s),(G,s¢))|s[i]=s¢[i]}。我们称其为G的认知提升(epistemic lift),记作G#。在G#中,可达关系表示每个主体可以区分自己的行为,而不能区分其它主体间的行为。

2 EMASL的表达力

知道独裁

在多主体博弈中的独裁者,被定义为一个总是能够得到最高利益的主体,一个知道的独裁者是一个不仅有这个能力,而且也知道他有这个能力的主体。

知道防操纵:

对于任意意向表S和任意主体(或投票者)i,他们知道,如果改变他们的投票不能带来比现在还好的结果(根据Si的偏好),那么一个投票规则是防操纵的。可以表示为如下公式:

 [( )] ( >v)

回溯之前的讨论,我们发现,在投票理论中,确实存在着一些比较消极的结论,比如几乎所有的投票都有可能被操纵。明显地,可操纵性具有一种负面意义。可操纵性不仅仅是目前才发现的一个现象,早在多年以前,就有众多学者对此进行了深入的分析和研究,人们发现设计一个完美的防操纵投票程序,无疑是非常重要的。现在,我们看到,无论是在语言上,还是在语义上,多主体策略逻辑和认知多主体策略逻辑都能够更严格准确的刻画投票中的概念和定理,能够更清晰的表示投票理论中的重要思想和涵义。更重要的是,刻画了防操纵投票的独特性,对投票中的防操纵提供了一种一般性的分析框架,我相信这一方法具有广阔的前景,这也是现代逻辑应用于投票理论的优势。

五、结论

我们将一个社会的个体偏好整合为集体偏好,这样看起来,多少有些技术化的因素。在一个以市场为主导的时代中,投票是否会略显多余?未必如此。事实上,投票是一把双刃剑,是需要不断改进和完善的。我们也许永远也找不到一个万能的钥匙,普适性的理论和方法,无论是在自然科学还是在社会科学中,都是不存在的。我们只能对具体问题给出相应解决问题的方式。

近些年来,人们将逻辑作为一种基本的工具运用到日常生活中,而投票领域正是它的应用之一。尽管逻辑工具可能不是用于投票研究的最好的形式工具,但是,笔者认为它在这一研究中依然起着重要的作用。与自然语言相对比,逻辑的形式语言能更加精确地表达多主体系统的性质。我们可以考虑将分析投票问题的形式语言转换为计算机可识别的程序代码,并借助现有的计算机模拟技术对相关问题进行处理,从而实现计算机对投票问题的模拟和解决。(van Benthem,Blackburn and Wolter2007:139-248本文借助多主体策略逻辑和认知多主体策略逻辑,对投票理论中的概念与行为都给出了严格的解释,为建立投票的逻辑系统和模型给予了技术支持,也为分析投票程序,以进行计算机模拟处理打下了基础。

综上所述,通过独特的逻辑方法和严格的演绎思维,为我们设计投票程序提供了至关重要的途径,逻辑学家们设计出一些投票的形式化模型,让人们能够更准确地进行选择和决策,可以一窥逻辑在社会科学领域的重要应用,借此也为逻辑学家找到一扇开启逻辑应用于经济学和政治学的芝麻之门

 

【参考文献】

Arrow, K. J. , 1951, Individual Values and Social Choice, New York: John Wiley.

Black, D., 1958, Theory of committees and elections, Cambridge: Cambridge University Press.

Condorcet, Marquis de., 1785, Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Paris.

Endriss, U., 2011, “Applications of Logic in Social Choice Theory”, Computational Logic in Multi-Agent Systems.

Gibbard, A., 1973, “Manipulation of voting schemes: a general result” , Econometrica: Journal of the Econometric Society.

Lange, M., 2006, “Model checking propositional dynamic logic with all extras”, Journal of Applied Logic.

Sen, A. K. , 1966, “A Possibility Theorem on Majority Decisions”,Econometrica.

Satterthwaite, M.A., 1975, “Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions”, Journal of Economic Theory.

Sen, A. K., 1970, “The Impossibility of Paretian Liberal”, The Journal of Political Economy, Vol.78.

Van Eijck, J., 2013, “PDL as a Multi-Agent Strategy Logic”, TARK.

Van Benthem,J.,Blackburn,P. and Wolter,F.,2007,Handbook of Model Logic,Amsterdan:Elsevier.

 

原载《世界哲学》2018年第1